2 塑性理论

岩土材料的强度和变形特性通常由弹性和塑性联合进行描述，如下

2.1应力和屈服

塑性理论的基本前提是存在一个阈值，超过该阈值就不存在应力状态。该极限由屈服函数F（σ）定义，F（σ）≤0定义了允许应力状态的域，而F（σ）= 0定义了屈服面（见图2.1）。屈服面可以是开放或封闭的，但始终是凸的。

F> 0（不允许）

图2.1：屈服面

2.2应变与流动

经典塑性理论以总应变可分解为弹性和塑性之和的假设为基础：

(2.1)

其中ε是总应变，ε^e是弹性应变，ε^p是塑性应变。

弹性应变与应力的关系

(2.2)

其中C是弹性柔度模量。

塑性应变的变化率通常用流动规则表示

   (2.3)

其中是塑性乘数，而G是流量（flow potential）。尽管先验未知值，但必须确保仅在F（σ）= 0时（即在应力状态屈服时）才发生塑性应变。

由下式保证：

(2.4)

关于流量，原则上对G的形式没有限制，并且可以选择最适合的实验。但是，从数学的角度来看，选择G = F有显著优势。与一般的非关联情况（G = F）相反，该流动法则称为关联法则。而实际上，F 和G不同，G通常具有与F相同的功能形式，但是涉及不同的材料参数。

2.3硬化规则

尽管最基本的材料模型利用稳定的屈服面，但更高级的模型则采用了一种或多种硬化机制。从屈服函数的角度来看，可以通过假设依赖一组附加类似应力硬化变量κ=（κ1，...，κn）^T来模拟硬化，然后通过以下公式给出弹性域

F(σ,κ) ≤ 0    (2.5)

F（σ，κ）= 0再次定义了屈服面。

硬化变量的演变由硬化规则确定，该规则一般形式如下：

   (2.6)

其中h =（h1，...，hn）^T是硬化函数数组。该规则暗示仅当（> 0）发生塑性应变硬化才会存在。

2.4小结

（2.7）

其中符号∇xf =∂f/∂x用于表示函数f相对于x的梯度。