6 刚塑性

与上一节中概述的发展类似，可以针对各种实际相关问题获得优化公式。首先要考虑的是刚塑性材料的本构。为表示方便，起初忽略了孔隙压力的影响。第6.3节总结了主要结果，其中包括孔隙压力的影响。

6.1控制方程

刚塑性材料在屈服点以下不会发生变形，而在屈服点会发生无限的塑性变形。因此，控制方程应根据位移变化率（速度）和应变变化率而不是总位移和应变来表述。此外，我们将假设破坏前的变形足够小，可以忽略几何形状的变化。

静态时，控制方程首先包括静力平衡和边界条件：

(6.1)

其次，必须满足屈服条件：

F(σ) ≤ 0 (6.2)

从运动角度来看，假定相关的流动规则是合适的：

(6.3)

其中是塑性应变率，λ是塑性乘数。采用小变形假设，速度场导出为

(6.4)

或者，结合以上两个方程式：

(6.5)

最后，互补条件应满足：

(6.6)

意味着仅在满足屈服条件[F（σ）= 0]时才会发生屈服（> 0）。

6.1.1线性化

为后续发展，考虑线性屈服函数而不是最初的非线性屈服函数很方便。换言之，F（σ）≤0替换以下一组线性约束类型：

(6.7)

或矩阵形式：

(6.8)

其中F和k从每个线性约束中分别收集fi和ki数值。或引入松弛变量，可以将屈服约束写为

(6.9)

显而易见，通过增加线性平面的数量，原始的非线性屈服函数可以近似于任意精确度（可能在实践中并不可行）。

与线性约束相关联的流动法则，根据以下条件的“ Koiter规则”给出的：

(6.10)

其中包含与每个线性约束关联的塑性乘数。该规则遵循von Mises最大塑性耗散的原理的明显结果（例如，参见Hill 1950），很难想象用任何其他方式来定义复合屈服面的塑性应变率。

6.2极限分析

现在考虑刚塑性材料的结构会受到一组体力b的作用，如自重。在其边界上，受一组牵引力t作用。对于这种情况，极限分析的核心问题：结构不破坏的情况下可以承受的最大牵引力是多少？或将导致破坏的最小牵引力是多少？

6.2.1完整解决方案

引入一个载荷乘数α，作用在结构上的牵引力由αt给出（见图6.1）。进一步假设该结构处于破坏状态。位移无限大，需要引入速度或相关做功或类似参数进行缩放。

图6.1：体积V，边界为S = Su∪Sσ的固体在Sσ上受到牵引力αt，Su为支持边界。

与许多手算上限方法中的操作相同，在该方法中，考虑了定义破坏机制的某些特征位移的有限大小。控制方程式如下：

平衡边界条件：

(6.11)

屈服条件：

(6.12)

相关的流动规则/应变位移相容性：

(6.13)

(6.14)

互补条件：

(6.15)

相对于牵引力t做功已应用缩放。可以证明，如果上述方程式的解存在，乘数α的解唯一。但可能存在多个应力分布或速度场产生相同的破坏系数。可以根据不同的变分原理来替代地上述控制方程，在某些情况下，这些变分原理允许确定破坏乘数α的准确界限。

6.2.2下限原理

控制方程的一种可能性是根据下限原理：

最大化 α

满足 (6.16)

换言之，上述问题的解决方案满足控制方程式（6.11）-（6.15）。解决上述问题时缺少的运动学方程量（kinematic quantities），以拉格朗日乘数形式。这与第5节中桁架情况类似。

下限理论的主要优点是，它允许计算精确的破坏乘数的下限，即通过构造一个满足约束条件的应力场，但不一定是最优的。

6.2.3上限原理

其次，可以根据以下优化问题来转换控制方程式：

最小化

满足(6.17)

该问题需要考虑运动学方程量（kinematic quantities），并可以计算精确破坏乘数上限，即通过假设满足流动规则的相容速度场。将相关牵引力所做的功率定为单位。然后，目标函数（内力做功减去恒定体力做功）就是破坏乘数。

6.2.4界限

为了验证下限和上限原理确实为破坏乘数上提供了界限，我们可以按下述方式进行。首先考虑应力场σa，满足屈服条件以及平衡边界条件，且载荷乘数为αa。虚功原理赋予

(6.18)

其中被当作准确的速度场

此外，结合准确的速度场考虑准确的应力场σ：

(6.19)

其中α是准确的破坏乘数。

从（6.19）中减去（6.18）并使用（6.14）得到

(6.20)

在图6.2中说明了最后一个不等式主要取决于相关的流动法则。

按照上限原理，考虑速度场和塑性乘数场，这些不一定与速度场有关。此外，考虑应力场σb，该应力场不一定处于平衡状态，而是满足屈服条件。

(6.21)

图6.2：下限不等式（6.20）图示

确切的破坏乘数是通过确切的应力场定义的：

(6.22)

其中，可推导：

(6.23)

调用关联的流动法则，对于假定的位移场，推出：

(6.24)

不等式来源类似于图6.2所示的简单几何构造。

6.2.5耦合

实际上，式（6.16）和（6.17）两个问题彼此耦合，因为 i) 它们是基于相同的数据（∇，b，t，F和k）构造的，但是涉及不同的变量集ii)目标函数解决方案是相同的。如下：考虑一个应力场σa，满足屈服条件以及平衡边界条件，且荷载乘数为αa。再考虑与塑性应变率和塑性乘数场有关的速度场，并满足，可推出：

(6.25)

如果满足互补条件，gap差值就会消失。除了说明这两个原理之间的对偶性，上述操作还正式证明了这每个原理都等同于整个控制方程组。

6.2.6相关流动法则

尽管关联流动的假设对于极限分析至关重要，但它对不同边界原则的含义不同。因此，为证明下限不等式（6.20），有必要假设精确解满足流动法则，而不是对近似解做任何假设。实际上，后一种解决方案仅对静态变量起作用，而没有对运动学进行任何假设。如果精确解不满足相关流动法则，则从满足连续力学所有基本要求的意义上说，平衡应力解仍然有效。但是，不能保证相应的载荷乘数低于与精确应力分布相关的破坏乘数。

相反，上限不等式要求近似解满足流动法则，而精确解没有任何要求。这意味着，即使精确解未假定相关流动法则，该不等式也有效。换言之，相关流动法则问题的上限解也将是非关联流动法则问题的上限解。

在第9节中，将更详细地讨论流动法则的作用及其对破坏载荷的影响。

6.3孔隙压力

渗流作用和超静孔隙压力影响很容易分别包含在下限原理（6.16）和上限原理（6.17）中。

6.3.1排水条件

假设排水条件良好，则下限原理为：

最小化 α

满足(6.26)