8 弹塑性

在本章中，首先考虑了弹塑性的一般热力学公式，然后推导并讨论了许多有用的变分原理。为了方便表达起见，最初忽略了孔隙压力的影响。第8.3节总结了主要结果，其中包括孔隙压力的影响。

8.1弹塑性热力学公式

在本节中，主要根据Simo（1998）和Krabbenhoft（2009）的论述简要概述了弹塑性的热力学公式。

从热力学的第一定律和第二定律，并假设等温条件，可以得出以下中心恒等式（Collins and Houlsby 1997）：

(8.1)

其中P是内部功率，ϕ是亥姆霍兹自由能函数，D≥0是耗散函数。根据Simo（1998），我们将假设亥姆霍兹自由能是弹性应变εe和一组类似于应变的硬化变量η的函数：

ϕ = ϕ(εe , η) (8.2)

ϕ随时间的导数由下式给出

(8.3)

与纯弹性过程（= 0，D = 0）的（8.1）进行比较，可以得应力为

 (8.4)

与η共轭的变量集称为类似应力的硬化变量，并表示为 κ

 (8.5)

接下来，通过Legendre变换定义互补的亥姆霍兹自由能函数ψ（σ，κ）：

(8.6)

从中可以得出，弹性应变和类似应变的硬化变量可以表示为

(8.7)

通过对上述关系的直接操作，耗散如下

(8.8)

这是结果众所周知的[除了κ的符号会经常改变（Collins和Houlsby 1997； Simo 1998）]。 此外，内部功率可以用以下形式表示：

(8.9)

根据Krabbenhoft（2009），我们试图通过在屈服条件下最大化内部功率来导出本构模型：

(8.10)

从内部工作率的表达式（8.9），我们可以得出以下结论：

(8.11)

因此，相关的最大化原理简化为

(8.12)

现在假设一个相关的势能ψ（σ，κ），本构方程作为与上述最大化问题相关的一阶最优条件。因此，我们注意到当特别选择ψ= 0时，满足von Mises的最大塑料耗散原理（例如参见Lubliner 1990）。

为了导出更通用的本构方程，首先将ψ的时间导数展开为

(8.13)

使用这种展开式，与（8.12）相关的本构方程如下：

(8.14)

为方便引入有效模数：

(8.15)

因此本构方程可以用以下格式表示：

(8.16)

此处的模量C和h具有与第2节中概述的常规弹塑性模型相同的物理意义：C是弹性柔量模量，h是硬化函数数组。此外，控制方程还包括一个新的本构模量S，称为耦合模量。该附加模量可用于构建土壤和其他颗粒状材料的本构模型（Krabbenhoft 2009）。

8.1.1有限步公式

有限步版本考虑了上面讨论的增量变分公式。变形的力可以在时间上近似为

 (8.17)

其中下标0表示初始的已知状态。使用上一章节公式以及完全隐式的耗散评估，变形的有限步阶幂可以用σ和κ表示为

(8.18)

其中

(8.19)

本构原理（8.10）的有限步形式为：

(8.20)

假定Δε已知。

8.2变分原理

在对刚塑性进行处理之后，可以得出许多类似的变分原理。

8.2.1 Hellinger-Reissner原理

最直接的变分原理是通过将局部本构原理（8.20）扩展到整个域。原理为：

(8.21)

对于线弹性，此原理简化为众所周知的Hellinger-Reissner原理。

8.2.2下限原理

下限原理的等价描述的控制方程：

最大化    

满足  (8.22)

我们注意到，= 0满足刚塑性下限原理（6.16）。作为特殊情况，考虑线性（或线性屈服函数）的完美弹塑性材料。假设弹性模量与时间无关()，可推出：

(8.23)

其中 ∆σ = (σ - σ0)，因此： 

最大化     

满足  (8.24)

其中s还是松弛变量。该原理与刚塑性原理（6.16）相似。 实际上，对于C = 0（刚弹性行为），当前理论原理可以精确包含。

8.2.3 上限原理 

最后，可以导出（8.22）的耦合上限解。一般情况下，结果不是特别透明，并且涉及的参数与到目前为止引入的主要参数（势能ψ和屈服函数F）不同，考虑特殊情况（8.24）。 该原理的耦合由下式给出：

最小化

满足   (8.25)

其中εe为弹性应变，u是位移，而λ是塑性乘数。与刚塑性上限原理（6.17）的相似性显而易见。实际上，对于D =∞（刚性弹性行为），最小化将意味着εe= 0。

8.3孔隙压力

渗流作用和超静定压力的影响很容易包含在上述原理中。

8.3.1排水条件

假设排水条件良好，则下限原则（8.22）扩展至：

最大化       

满足  (8.26)

修改后的Hellinger-Reissner原理为：

满足F(σ′,κ) ≤ 0

在上文中，假设仅外部负载数值被放大以达到破坏状态，而由于渗透压力ts引起的部分牵引力保持恒定。

8.3.2不排水条件

假设排水条件良好，则下限原则如下：

最大化   

  满足         (8.27)

修改后的Hellinger-Reissner原理为：

         满足              F(σ′,κ) ≤ 0                       (8.28)

再次假设仅放大外部负载数值以达到破坏状态，而由于渗流压力ts引起的部分牵引力保持恒定。我们注意到，超静压力pe作为附加变量带入下限原理，而上限原理包含确保不可压缩性的附加约束。