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一片天下
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1.三角形公式
如图a示：（注：以下所有图示均以单线铁路隧道Ⅴ级围岩为例）
侧壁稳定时其高度为：
侧壁不稳定时其高度为：
h－坍落洪高；
b－洞室跨度之半；
H－隧道开挖高度；
φ－岩体内摩擦角。
2.轴变论公式
20世纪50年代末。我国学者于学馥教授提出了轴变论，他提出了在二维应力场中，使围岩保持稳定的最佳洞形是具有一定轴比的椭圆。1978年瑞合兹（R.Richards） 和贝觉克门（G.S.Bjorkman）又从理论计算方面解决了这一问题。
从围岩稳定的观点选择最佳洞形，就是要找具有最小应力集中的洞形，这种洞形称为“谐洞”。形成“谐洞”的条件为：如图b所示
q－椭圆轴比；
λ－围岩侧压力系数，据有关资料，当埋深小于500m时，λ=0.5～3.5，松散软弱地层中，λ=0.5～1.0。
塌落拱高度即为椭圆长轴，即：
a－椭圆短轴长，等于隧道开挖半径；
b－椭圆长轴长。
3.梯形公式
包里索夫等人从层状岩体坍落后出现的块体平衡出发，认为在层状围岩中坍落拱的形状为一梯形，如图c所示，其高度为：
式中：
h－塌落拱高度，m；
L－洞室跨度,m；
a－层面倾角；
其中：
ζ－压缩蠕变系数，可取ζ=0.5～0.7；
hi－层厚，即层面间距,m；
n－承载能力安全系数，可取n=4；
δn－抗压强度,N/cm2；
γi－岩体容重,t/m3；
δ－冒落边界与层面间的交角，根据试验资料，对坚硬裂隙性岩石当沉积深度不大和中等时，这个倾角δ等于60°～80°。
4.普氏公式
普氏认为：所有围岩都不同程度地被节理、裂隙所分剖，因此可以视为散粒体 ，但围岩又不同于一般的散粒体，其结构面上存在着不同程度的凝聚力(粘结力)。从这些假定出发；普氏提出了围岩的坚固性系数(又叫似摩擦系数)的概念：
φ、φ0——围岩的计算摩擦角和内摩擦角；
τ、σ——围岩的抗剪强度和剪切破坏的正应力；
c——围岩的凝聚力。
岩石的坚固性系数是一个说明围岩各种性质(强度、抗钻性、构造、地下水等) 的笼统指标。通常：
对于松散性岩石、土及砂质土：
对于坚硬岩石：
式中 Rb——岩石试件的抗压极限强度(MPa)
为了确定作用在支撑上的垂直压力，普氏提出了基于平衡拱的计算理论。普氏认为，在坑道上方将形成平衡拱．在平衡拱以内的围岩松散体会对支撑施加压力。该平衡拱的外缘为一质点拱(即厚度很薄的拱圈)，其存在的条件为：
1．任一截面上没有弯矩作用；
2．拱脚能保持稳定而不致滑动。
由第一个条件，在拱上任一点A处，取矩ΣMA＝0:
由此得出：
T—拱顶推力；
p—垂直匀布压力；
x、y—质点拱上任一点A的坐标。
由上式可见，平衡拱的外缘曲线为二次抛物线。
令 x=b,y=h代入上式可得：
b—平衡拱半跨度；
h—平衡拱高度；
由第二个条件可知，要保持拱脚不滑动，拱脚处水平摩阻力必须大于该处的推力T，取安全系数为2，则
可得平衡拱高度
在实际应用中，分为侧壁稳定和不稳定两种情况，如图e所示：
侧壁稳定时：
侧壁不稳定时：
铁路围岩分级与对应的普氏系数对照如下：
5. 《铁路隧道设计规范》规定
我国铁路系统的一些单位根据各类围岩中的二百多个塌方资料，用数理统计的方法加以整理，从而得出计算各类围岩坍方高度的经验公式，用以代替普氏公式。该公式为：
ω—宽度影响系数，ω=1+i（B-5）；
S—围岩级别；
B—坑道宽度（m）；
i—B每增减1m时的围岩压力增减率：当B＜5m时，取i=0.2；B＞5m时，可取i=0.1。
上述公式的适用条件为：
(1)H/B＜1.7，H为坑道高度m；
(2)不产生显著偏压力及膨胀性压力的一般围岩；
(3)采用钻爆法施工的隧道；
(4)深埋隧道。
坍落拱理论指出了洞室开挖后，围岩经过坍塌自身将会建立起新的平衡，这就正确地描述了围岩的自承作用。根据这一点，人们很自然地想到，洞室开挖后只要支护结构物能把坍落拱范围内可能坍塌下来的全部岩块的重量支承住，使之不落入洞内，即能保证地下洞室的安全使用。因此．在设计地下结构物时，只须取坍落拱范围内的那部分岩石的重量作为荷载就可以了。从将洞室全部上复岩层的重量作为山体压力的理论到坍落拱理论，人们对支护与围岩间相互关系认识的发展过程实质上乃是揭示和利用围岩自承能力的过程。
建立在坍落拱理论基础上的设计方法实质上认为洞室开挖后围岩的稳定主要是靠坍塌致使洞宝形状改变后自行取得的，支护结构物在围岩的变形、松散和坍塌面前“无能为力”，只能“消极地”等待着坍塌后自身出现的平衡；支护的作用仅仅在于将可能坍落的岩块支承起来，使之不落入洞内，也就是说，只能通过坍落拱的形成来利用围岩的自承能力。
喷锚支护的采用提出了重新认识围岩自承能力及围岩与支护间相互关系的必要。
喷锚支护同旧式支护不同，它施作及时并具有一定的早强性能。尤其是喷射混凝土层的施作几乎可以在开挖后“立即”进行。同时，这种支护与围岩紧密结合，这就使得处于锚杆和喷射混凝土层支护下的围岩力学形态的变化与未加支护时的情况大不相同：不是通过自由坍塌来取得新的平衡，而是通过锚杆和喷射混凝土层的作用对围岩力学形态变化的过程有效地加以控制，从而取得新的平衡。喷锚支护的作用并不仅仅在于将可能坍落下来的岩块支承住，还可以“主动地”控制围岩变形、松散的发展，防止围岩的破坏，“帮助”围岩取得稳定。与“消极地”、“等待”围岩坍塌后
自行取得平衡的旧式“被动”支护相比，喷锚支护更“主动地”利用了围岩的自承能力。
因此，对于喷锚支护当然也就不能再像传统的设计理论所做的那样，将围岩不加支护时可能坍落下来的全部岩块的重量作为荷载来设计它。在设计喷锚支护时，我们所应注意的已不是洞室不加支护情况下坍塌的最终结果，而是开挖后围岩力学形态的变化过程和破坏机理，即围岩的变形和坍塌是怎样开始、怎样发展的，从中找出支护结构物与围岩的相互关系，分析锚杆和喷射混凝土的受力条件和计算方法。这是与地下结构物传统设计理论的主要不同之处。
地下工程中的围岩条件千变万化。洞室开挖后围岩力学形态的变化过程和破坏机理，各类围岩呈现各种不同的情况。因此，在分析喷锚支护的作用原理、探讨其设计方法时，必须根据各类围岩的变形和破坏特点即围岩稳定性特征，从围岩自身的稳定性出发，进行具体分析。
此外，鉴于锚杆和喷射混凝土同围岩结合紧密，共同变形的特点，在设计喷锚支护时常常可以不必将支护结构物(锚杆、喷层)同围岩看成是相互对立的两个方面，用作用于支护结构物上的荷载来反映二者之间的相互关系；而可以将二者当作一个整体，把支护结构物看成是这个整体的某种边界条件，检算洞室开挖后围岩和支护结构物中的应力分布和变形情况，从而确认围岩的稳定性和支护的安全度。工程地质学、岩体力学的发展，以及高效率的电子计算机的使用，提供了这种可能。
上述塌落拱的计算采用哪一个公式，主要根据地质情况，可以以一种公式为主，多种公式校核，而且几种理论可以结合应用，比如应用梯形公式时，在确定了梯形底宽后，完全可以再应用普氏公式；对于三角形的塌落拱，现场很少出现顶部较尖的形状，此时也可以以梯形公式和普氏公式计算校核，再对照现场，可以排除几种不可能的型式，确定最可能的塌落拱型式。但所有公式都有一个共同点：塌落拱高度与开挖（或坍塌）宽度成正比，所以，无论在何种地质、任何时候，保证侧壁稳定，都是减少、降低、避免坍塌、确保安全的最有效措施。
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如图a示：（注：以下所有图示均以单线铁路隧道Ⅴ级围岩为例）
侧壁稳定时其高度为：
侧壁不稳定时其高度为：
h－坍落洪高；
b－洞室跨度之半；
H－隧道开挖高度；
φ－岩体内摩擦角。
2.轴变论公式
20世纪50年代末。我国学者于学馥教授提出了轴变论，他提出了在二维应力场中，使围岩保持稳定的最佳洞形是具有一定轴比的椭圆。1978年瑞合兹（R.Richards） 和贝觉克门（G.S.Bjorkman）又从理论计算方面解决了这一问题。
从围岩稳定的观点选择最佳洞形，就是要找具有最小应力集中的洞形，这种洞形称为“谐洞”。形成“谐洞”的条件为：如图b所示
q－椭圆轴比；
λ－围岩侧压力系数，据有关资料，当埋深小于500m时，λ=0.5～3.5，松散软弱地层中，λ=0.5～1.0。
a－椭圆短轴长，等于隧道开挖半径；
b－椭圆长轴长。
3.梯形公式
包里索夫等人从层状岩体坍落后出现的块体平衡出发，认为在层状围岩中坍落拱的形状为一梯形，如图c所示，其高度为：
式中：
h－塌落拱高度，m；
L－洞室跨度,m；
a－层面倾角；
其中：
ζ－压缩蠕变系数，可取ζ=0.5～0.7；
hi－层厚，即层面间距,m；
n－承载能力安全系数，可取n=4；
δn－抗压强度,N/cm2；
γi－岩体容重,t/m3；
δ－冒落边界与层面间的交角，根据试验资料，对坚硬裂隙性岩石当沉积深度不大和中等时，这个倾角δ等于60°～80°。
4.普氏公式
普氏认为：所有围岩都不同程度地被节理、裂隙所分剖，因此可以视为散粒体 ，但围岩又不同于一般的散粒体，其结构面上存在着不同程度的凝聚力(粘结力)。从这些假定出发；普氏提出了围岩的坚固性系数(又叫似摩擦系数)的概念：
式中：
φ、φ0——围岩的计算摩擦角和内摩擦角；
τ、σ——围岩的抗剪强度和剪切破坏的正应力；
c——围岩的凝聚力。
岩石的坚固性系数是一个说明围岩各种性质(强度、抗钻性、构造、地下水等) 的笼统指标。通常：
对于松散性岩石、土及砂质土：
对于坚硬岩石：
式中 Rb——岩石试件的抗压极限强度(MPa)
为了确定作用在支撑上的垂直压力，普氏提出了基于平衡拱的计算理论。普氏认为，在坑道上方将形成平衡拱．在平衡拱以内的围岩松散体会对支撑施加压力。该平衡拱的外缘为一质点拱(即厚度很薄的拱圈)，其存在的条件为：
1．任一截面上没有弯矩作用；
2．拱脚能保持稳定而不致滑动。
由第一个条件，在拱上任一点A处，取矩ΣMA＝0:
由此得出：
式中：
T—拱顶推力；
p—垂直匀布压力；
x、y—质点拱上任一点A的坐标。
由上式可见，平衡拱的外缘曲线为二次抛物线。
令 x=b,y=h代入上式可得：
式中：
b—平衡拱半跨度；
h—平衡拱高度；
由第二个条件可知，要保持拱脚不滑动，拱脚处水平摩阻力必须大于该处的推力T，取安全系数为2，则
可得平衡拱高度
在实际应用中，分为侧壁稳定和不稳定两种情况，如图e所示：
侧壁稳定时：
侧壁不稳定时：
铁路围岩分级与对应的普氏系数对照如下：
我国铁路系统的一些单位根据各类围岩中的二百多个塌方资料，用数理统计的方法加以整理，从而得出计算各类围岩坍方高度的经验公式，用以代替普氏公式。该公式为：
式中：
ω—宽度影响系数，ω=1+i（B-5）；
S—围岩级别；
B—坑道宽度（m）；
i—B每增减1m时的围岩压力增减率：当B＜5m时，取i=0.2；B＞5m时，可取i=0.1。
上述公式的适用条件为：
(1)H/B＜1.7，H为坑道高度m；
(2)不产生显著偏压力及膨胀性压力的一般围岩；
(3)采用钻爆法施工的隧道；
(4)深埋隧道。
坍落拱理论指出了洞室开挖后，围岩经过坍塌自身将会建立起新的平衡，这就正确地描述了围岩的自承作用。根据这一点，人们很自然地想到，洞室开挖后只要支护结构物能把坍落拱范围内可能坍塌下来的全部岩块的重量支承住，使之不落入洞内，即能保证地下洞室的安全使用。因此．在设计地下结构物时，只须取坍落拱范围内的那部分岩石的重量作为荷载就可以了。从将洞室全部上复岩层的重量作为山体压力的理论到坍落拱理论，人们对支护与围岩间相互关系认识的发展过程实质上乃是揭示和利用围岩自承能力的过程。
建立在坍落拱理论基础上的设计方法实质上认为洞室开挖后围岩的稳定主要是靠坍塌致使洞宝形状改变后自行取得的，支护结构物在围岩的变形、松散和坍塌面前“无能为力”，只能“消极地”等待着坍塌后自身出现的平衡；支护的作用仅仅在于将可能坍落的岩块支承起来，使之不落入洞内，也就是说，只能通过坍落拱的形成来利用围岩的自承能力。
喷锚支护的采用提出了重新认识围岩自承能力及围岩与支护间相互关系的必要。
喷锚支护同旧式支护不同，它施作及时并具有一定的早强性能。尤其是喷射混凝土层的施作几乎可以在开挖后“立即”进行。同时，这种支护与围岩紧密结合，这就使得处于锚杆和喷射混凝土层支护下的围岩力学形态的变化与未加支护时的情况大不相同：不是通过自由坍塌来取得新的平衡，而是通过锚杆和喷射混凝土层的作用对围岩力学形态变化的过程有效地加以控制，从而取得新的平衡。喷锚支护的作用并不仅仅在于将可能坍落下来的岩块支承住，还可以“主动地”控制围岩变形、松散的发展，防止围岩的破坏，“帮助”围岩取得稳定。与“消极地”、“等待”围岩坍塌后
自行取得平衡的旧式“被动”支护相比，喷锚支护更“主动地”利用了围岩的自承能力。
因此，对于喷锚支护当然也就不能再像传统的设计理论所做的那样，将围岩不加支护时可能坍落下来的全部岩块的重量作为荷载来设计它。在设计喷锚支护时，我们所应注意的已不是洞室不加支护情况下坍塌的最终结果，而是开挖后围岩力学形态的变化过程和破坏机理，即围岩的变形和坍塌是怎样开始、怎样发展的，从中找出支护结构物与围岩的相互关系，分析锚杆和喷射混凝土的受力条件和计算方法。这是与地下结构物传统设计理论的主要不同之处。
地下工程中的围岩条件千变万化。洞室开挖后围岩力学形态的变化过程和破坏机理，各类围岩呈现各种不同的情况。因此，在分析喷锚支护的作用原理、探讨其设计方法时，必须根据各类围岩的变形和破坏特点即围岩稳定性特征，从围岩自身的稳定性出发，进行具体分析。
此外，鉴于锚杆和喷射混凝土同围岩结合紧密，共同变形的特点，在设计喷锚支护时常常可以不必将支护结构物(锚杆、喷层)同围岩看成是相互对立的两个方面，用作用于支护结构物上的荷载来反映二者之间的相互关系；而可以将二者当作一个整体，把支护结构物看成是这个整体的某种边界条件，检算洞室开挖后围岩和支护结构物中的应力分布和变形情况，从而确认围岩的稳定性和支护的安全度。工程地质学、岩体力学的发展，以及高效率的电子计算机的使用，提供了这种可能。
上述塌落拱的计算采用哪一个公式，主要根据地质情况，可以以一种公式为主，多种公式校核，而且几种理论可以结合应用，比如应用梯形公式时，在确定了梯形底宽后，完全可以再应用普氏公式；对于三角形的塌落拱，现场很少出现顶部较尖的形状，此时也可以以梯形公式和普氏公式计算校核，再对照现场，可以排除几种不可能的型式，确定最可能的塌落拱型式。但所有公式都有一个共同点：塌落拱高度与开挖（或坍塌）宽度成正比，所以，无论在何种地质、任何时候，保证侧壁稳定，都是减少、降低、避免坍塌、确保安全的最有效措施。